미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + \sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$0 + \cos (x)$

단계 1.1.4

$0$ 를 $\cos (x)$ 에 더합니다.

$\cos (x)$

단계 1.2

$u = 1 + \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 1.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 1 + \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 1.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

$2$ 에 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.2.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2.4

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

단계 4.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

단계 4.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

소수 형태:

$1.21895141 \dots$