미적분 예제

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$

단계 1.2

$\frac{1}{y^{2} + x^{2}}$ 을 ${(y^{2} + x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$y \frac{d}{d x} [{(y^{2} + x^{2})}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = y^{2} + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y^{2} + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $y^{2} + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 3.2

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (2 x))$

단계 3.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y (- 2 {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y (- 2 \frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$y (\frac{- 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y (- \frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

단계 4.2.3

$x$ 와 $\frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$y (- \frac{x \cdot 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

단계 4.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y (- \frac{2 \cdot x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

단계 4.2.5

$y$ 와 $\frac{2 x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y (2 x)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

단계 4.2.6

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 y x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$