미적분 예제

$\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

단계 1

$\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)} d x$

단계 4

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{1 + x}$

단계 4.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$

단계 4.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(1 + x) (1 - 2 x)$ 입니다.

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.4

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.5

$1 - 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.6.1.2

$(A) (1 - 2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = (A) (1 - 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A \cdot 1 + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.6.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.6.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.6.5

$1 - 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.5.1

공약수로 약분합니다.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

단계 4.1.6.5.2

$(B) (1 + x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A - 2 A x + (B) (1 + x)$

단계 4.1.6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A - 2 A x + B \cdot 1 + B x$

단계 4.1.6.7

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A - 2 A x + B + B x$

단계 4.1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

$A$ 를 옮깁니다.

$1 = A - 2 x A + B + B x$

단계 4.1.7.2

$B$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$1 = A - 2 x A + B + B x$

단계 4.1.7.3

$B$ 를 옮깁니다.

$1 = A - 2 x A + B x + B$

단계 4.1.7.4

$A$ 를 옮깁니다.

$1 = - 2 x A + B x + A + B$

단계 4.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = - 2 A + B$

단계 4.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A + B$

단계 4.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

단계 4.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0 = - 2 A + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$- 2 A + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 2 A + B = 0$

$1 = A + B$

단계 4.3.1.2

방정식의 양변에 $2 A$ 를 더합니다.

$B = 2 A$

$1 = A + B$

$B = 2 A$

$1 = A + B$

단계 4.3.2

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $2 A$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$1 = A + B$ 의 $B$ 를 모두 $2 A$ 로 바꿉니다.

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

단계 4.3.2.2

$1 = A + 2 A$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.1

괄호를 제거합니다.

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

단계 4.3.2.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.2.1

$A$ 를 $2 A$ 에 더합니다.

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

단계 4.3.3

$1 = 3 A$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$3 A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 A = 1$

$B = 2 A$

단계 4.3.3.2

$3 A = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

$3 A = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

단계 4.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

단계 4.3.3.2.2.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

단계 4.3.4

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $\frac{1}{3}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$B = 2 A$ 의 $A$ 를 모두 $\frac{1}{3}$ 로 바꿉니다.

$B = 2 (\frac{1}{3})$

$A = \frac{1}{3}$

단계 4.3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

단계 4.3.5

모든 해를 나열합니다.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

단계 4.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{3}}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

단계 4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

단계 4.5.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{1 + x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

단계 4.5.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 2 x}$

단계 4.5.4

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{1 - 2 x}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

단계 7

먼저 $u_{1} = 1 + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{1} = 1 + x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$1 + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 7.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 7.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 7.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

단계 8

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

단계 9

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

단계 10

먼저 $u_{2} = 1 - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{2} = 1 - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$1 - 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

단계 10.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 10.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 10.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 \cdot 1$

단계 10.1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2$

단계 10.1.4

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2$

단계 10.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 11.2

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 11.3

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

단계 12

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 14.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 14.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 14.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 14.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 14.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 15

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

단계 16

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 17

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$u_{1}$ 를 모두 $1 + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 17.2

$u_{2}$ 를 모두 $1 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

단계 18

답은 함수 $f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$