미적분 예제

$f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1

$x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 3.2.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 7

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

단계 8

식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

단계 8.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 8.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 8.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 8.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 8.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

단계 10.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

단계 11

답은 함수 $f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$