미적분 예제

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{3})$

단계 1

$- 11$ 항은 $r$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{3})$

단계 2

$\frac{r}{3}$ 와 $\ln (\frac{r}{3})$ 을 묶습니다.

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{3})}{3}$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 항은 $r$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{3})$

단계 4

$r \ln (\frac{r}{3})$ 을 $\frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{3})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

단계 5.1.2

$r$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (\frac{r}{3})$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

단계 5.1.3

분자는 상수이고 분모는 $r$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 근접할 때 $0$ 에 근접하므로 분수 $\frac{1}{r}$ 은 무한대로 발산합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

단계 5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

단계 5.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.2

$f (r) = \ln (r)$ , $g (r) = \frac{r}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 는 $f' (g (r)) g' (r)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{r}{3}$ 로 바꿉니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{r}{3}$ 로 바꿉니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{3}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.3

$\frac{r}{3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.4

$\frac{3}{r}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.5

$\frac{1}{3}$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $\frac{r}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \cdot \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.6

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{3}{r}$ 을 곱합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.9

$\frac{1}{r}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

단계 5.3.10

$\frac{1}{r}$ 을 $r^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

단계 5.3.11

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

단계 5.3.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

단계 5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

단계 5.5

$\frac{1}{r}$ 와 $r^{2}$ 을 묶습니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

단계 5.6

$r^{2}$ 및 $r$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$r^{2}$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

단계 5.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$r$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

단계 5.6.2.2

$r^{1}$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

단계 5.6.2.3

공약수로 약분합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

단계 5.6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

단계 5.6.2.5

$r$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

단계 6

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$- 1$ 항은 $r$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

단계 6.1.2

$r$ 에 $0$ 을 대입하여 $r$ 의 극한을 계산합니다.

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

단계 6.2

답을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$- 11$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

단계 6.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

단계 6.2.3

$- \frac{11}{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 (\frac{11}{3})$

단계 6.2.3.2

$0$ 에 $\frac{11}{3}$ 을 곱합니다.

$0$