미적분 예제

$\int \frac{1 + \cos (x)}{x + \sin (x)} d x$

단계 1

먼저 $u = x + \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (1 + \cos (x)) d x$ 이므로 $\frac{1}{1 + \cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x + \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x + \sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$1 + \cos (x)$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u$

단계 2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C$

단계 3

$u$ 를 모두 $x + \sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| x + \sin (x) |) + C$