미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 46$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 46$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.2.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.4.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [46]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$46$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $46$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $46$ 입니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + 0$

단계 1.5.2

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{2}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x)$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (16 x)$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [16 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $16 x$ 의 미분은 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 24 x + 16 \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 24 x + 16 \cdot 1$

단계 2.4.3

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 24 x + 16$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.2.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.3.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.4.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [46]$

단계 4.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$46$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $46$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $46$ 입니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + 0$

단계 4.1.5.2

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ 입니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2}) - 12 x^{2} + 16 x = 0$

단계 5.2.1.2

$- 12 x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 16 x = 0$

단계 5.2.1.3

$16 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 6 x) + 2 x (8) = 0$

단계 5.2.1.4

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 6 x)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2} - 6 x) + 2 x (8) = 0$

단계 5.2.1.5

$2 x (x^{2} - 6 x) + 2 x (8)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

단계 5.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 4, - 2$

단계 5.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$2 x ((x - 4) (x - 2)) = 0$

단계 5.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x (x - 4) (x - 2) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 5.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 5.6

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 5.6.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5.7

$2 x (x - 4) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 4, 2$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, 4, 2$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$6 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 16$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$6 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 16$

단계 9.1.2

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 24 \cdot 0 + 16$

단계 9.1.3

$- 24$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 16$

단계 9.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 16$

단계 9.2.2

$0$ 를 $16$ 에 더합니다.

$16$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 46$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 - 4 {(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 46$

단계 11.2.1.2

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 46$

단계 11.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 8 {(0)}^{2} + 46$

단계 11.2.1.4

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 8 {(0)}^{2} + 46$

단계 11.2.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 0 + 8 \cdot 0 + 46$

단계 11.2.1.6

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 46$

단계 11.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 46$

단계 11.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 46$

단계 11.2.2.3

$0$ 를 $46$ 에 더합니다.

$f (0) = 46$

단계 11.2.3

최종 답은 $46$ 입니다.

$y = 46$

단계 12

$x = 4$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$6 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 16$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 \cdot 16 - 24 \cdot 4 + 16$

단계 13.1.2

$6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$96 - 24 \cdot 4 + 16$

단계 13.1.3

$- 24$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$96 - 96 + 16$

단계 13.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$96$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$0 + 16$

단계 13.2.2

$0$ 를 $16$ 에 더합니다.

$16$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = 4$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 4$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = 4$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{4} - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot 256 - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

단계 15.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.2.1

$256$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot (2 (128)) - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

단계 15.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 128) - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

단계 15.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (4) = 128 - 4 {(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} + 46$

단계 15.2.1.3

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (4) = 128 - 4 \cdot 64 + 8 {(4)}^{2} + 46$

단계 15.2.1.4

$- 4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f (4) = 128 - 256 + 8 {(4)}^{2} + 46$

단계 15.2.1.5

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (4) = 128 - 256 + 8 \cdot 16 + 46$

단계 15.2.1.6

$8$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (4) = 128 - 256 + 128 + 46$

단계 15.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$128$ 에서 $256$ 을 뺍니다.

$f (4) = - 128 + 128 + 46$

단계 15.2.2.2

$- 128$ 를 $128$ 에 더합니다.

$f (4) = 0 + 46$

단계 15.2.2.3

$0$ 를 $46$ 에 더합니다.

$f (4) = 46$

단계 15.2.3

최종 답은 $46$ 입니다.

$y = 46$

단계 16

$x = 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$6 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 16$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 \cdot 4 - 24 \cdot 2 + 16$

단계 17.1.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$24 - 24 \cdot 2 + 16$

단계 17.1.3

$- 24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 - 48 + 16$

단계 17.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

$24$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$- 24 + 16$

단계 17.2.2

$- 24$ 를 $16$ 에 더합니다.

$- 8$

단계 18

이계도함수가 음수이므로 $x = 2$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 2$ 은 극대값입니다

단계 19

$x = 2$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

단계 19.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1.1.1

${(2)}^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

단계 19.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$f (2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

단계 19.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$f (2) = 2^{3} - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

단계 19.2.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2) = 8 - 4 {(2)}^{3} + 8 {(2)}^{2} + 46$

단계 19.2.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2) = 8 - 4 \cdot 8 + 8 {(2)}^{2} + 46$

단계 19.2.1.4

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (2) = 8 - 32 + 8 {(2)}^{2} + 46$

단계 19.2.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = 8 - 32 + 8 \cdot 4 + 46$

단계 19.2.1.6

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (2) = 8 - 32 + 32 + 46$

단계 19.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.2.1

$8$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 24 + 32 + 46$

단계 19.2.2.2

$- 24$ 를 $32$ 에 더합니다.

$f (2) = 8 + 46$

단계 19.2.2.3

$8$ 를 $46$ 에 더합니다.

$f (2) = 54$

단계 19.2.3

최종 답은 $54$ 입니다.

$y = 54$

단계 20

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{3} + 8 x^{2} + 46$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 46)$ 은 극솟값임

$(4, 46)$ 은 극솟값임

$(2, 54)$ 은 극댓값임

단계 21