미적분 예제

$\int \frac{x^{2} - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 2

$x^{\frac{1}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x^{2} - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

단계 3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 4

$(x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{2 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 4.4

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\int x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{6 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 4.6.2

$6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int x^{\frac{5}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{\frac{5}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{5}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$