미적분 예제

$y = x \ln (x) - x$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \ln (x) - x)$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x \ln (x) - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.2.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.2.4

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.2.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.2.6

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

단계 3.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \ln (x) - 1$

단계 3.4

항을 묶습니다.

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단계 3.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0 + \ln (x)$

단계 3.4.2

$0$ 를 $\ln (x)$ 에 더합니다.

$\ln (x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \ln (x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$