미적분 예제

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2} - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 1.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u = x^{2} - 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = 1 - 1$

단계 1.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = x^{2} - 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 4 - 1$

단계 1.5.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 3$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$3$ , $0$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $3^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $3^{1}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3

지수를 더하여 $3^{\frac{3}{2}}$ 에 $3^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.3.1

$3^{- 1}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.6.2

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.4

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.5

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

단계 6.2.7

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

단계 6.2.8

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

단계 6.2.9

$0$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

단계 6.2.10

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.11

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

단계 6.2.12

$\frac{2}{2}$ 와 $3^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 6.2.13

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 6.2.14

$3^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3^{\frac{1}{2}}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$3^{\frac{1}{2}}$

소수 형태:

$1.73205080 \dots$

단계 8