미적분 예제

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 입니다.

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$4 y y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

단계 2.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

단계 3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $y'$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

단계 5.3

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$4 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

단계 5.3.2

$- 3 y^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

단계 5.3.3

$- y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

단계 5.3.4

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

단계 5.3.5

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

단계 5.4

$u = y$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $y$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

단계 5.5

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 5.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

단계 5.5.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ 이고 합이 $b = 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 5.5.2.1

$4 u$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

단계 5.5.2.2

$4$ 를 $1$ + $3$ 로 다시 씁니다.

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

단계 5.5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

단계 5.5.2.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

단계 5.5.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 5.5.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

단계 5.5.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

단계 5.5.4

최대공약수 $- 3 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

단계 5.6

인수분해합니다.

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단계 5.6.1

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

단계 5.6.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

단계 5.7

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $(- 3 y + 1) (y - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $(- 3 y + 1) (y - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

단계 5.7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.7.2.1

$- 3 y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

단계 5.7.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

단계 5.7.2.2

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

단계 5.7.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

단계 5.7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.7.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

단계 5.7.3.2

$- 3 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

단계 5.7.3.3

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

단계 5.7.3.4

$- (3 y) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

단계 5.7.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.7.3.5.1

$- (3 y - 1)$ 을 $- 1 (3 y - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

단계 5.7.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

단계 5.7.3.5.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

단계 5.7.3.5.4

$\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$