미적분 예제

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 - \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sin (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 - \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 - \cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$0 - - \sin (x)$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 1 \sin (x)$

단계 1.1.3.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \sin (x)$

단계 1.1.4

$0$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$\sin (x)$

단계 1.2

$u = 1 - \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

단계 1.3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 - 1$

단계 1.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = 1 - \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

단계 1.5.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

단계 1.5.1.3

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.1.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1 - - 1$

단계 1.5.1.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 1.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

단계 3

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.1

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 3.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

단계 3.2.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

단계 3.2.5

$0$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} + 0$

단계 3.2.6

$\frac{8}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{8}{3}$

단계 4

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{8}{3}$

소수 형태:

$2.\overline{6}$

대분수 형식:

$2 \frac{2}{3}$