미적분 예제

$y = \frac{2 x + \cot (x)}{5 + e^{x}}$

단계 1

$f (x) = 2 x + \cot (x)$ , $g (x) = 5 + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [2 x + \cot (x)] - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x + \cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 3

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $5 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 4.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) + (- (2 x) - \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x))$ 를 전개합니다.

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단계 6.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (2 - \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.2.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3.1.2.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3.1.2.3

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 \cdot e^{x} + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3.1.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.3.2

$10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - e^{x} \cot (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - 2 e^{x} x - e^{x} \cot (x) + 2 e^{x} + 10 - 5 \csc^{2} (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$