미적분 예제

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{4 x + 7}$

단계 1

항을 묶습니다.

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단계 1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{4 x + 7}$

단계 1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7}$

단계 2

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 2.1

${(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7}$ 을 $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7})}$

단계 2.2

$4 x + 7$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{4 x + 7})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to \infty} e^{(4 x + 7) \ln (\frac{x + 1}{x})}$

단계 3

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} (4 x + 7) \ln (\frac{x + 1}{x})}$

단계 4

$(4 x + 7) \ln (\frac{x + 1}{x})$ 을 $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{4 x + 7}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.2.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.2

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.3

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1.2.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.3.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.3.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.3.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1.2.5.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.5.2

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1.2.5.2.1

$1 + 0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.5.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.2.5.2.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x + 7}}}$

단계 5.1.3

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{4 x + 7}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 5.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{0}{0}}$

단계 5.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{4 x + 7}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + 1}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + 1}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.3

$\frac{x + 1}{x}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.4

$\frac{x}{x + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.5

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.6

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.9

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.10

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.12

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.13

$\frac{x}{x + 1}$ 에 $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.14

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.14.1

$(x + 1) x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.14.2

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.14.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15

간단히 합니다.

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단계 5.3.15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.15.3.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.3.2

$0$ 에서 $1 \cdot 1$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.4

항을 묶습니다.

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단계 5.3.15.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.4.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.4.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.5

$x^{2} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.15.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.5.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.15.5.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x + 7}]}}$

단계 5.3.16

$\frac{1}{4 x + 7}$ 을 ${(4 x + 7)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{- 1}]}}$

단계 5.3.17

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 4 x + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.17.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x + 7$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]}}$

단계 5.3.17.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]}}$

단계 5.3.17.3

$u$ 를 모두 $4 x + 7$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]}}$

단계 5.3.18

합의 법칙에 의해 $4 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])}}$

단계 5.3.19

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}}$

단계 5.3.20

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}}$

단계 5.3.21

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 + \frac{d}{d x} [7])}}$

단계 5.3.22

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} (4 + 0)}}$

단계 5.3.23

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- {(4 x + 7)}^{- 2} \cdot 4}}$

단계 5.3.24

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- 4 {(4 x + 7)}^{- 2}}}$

단계 5.3.25

간단히 합니다.

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단계 5.3.25.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- 4 \frac{1}{{(4 x + 7)}^{2}}}}$

단계 5.3.25.2

항을 묶습니다.

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단계 5.3.25.2.1

$- 4$ 와 $\frac{1}{{(4 x + 7)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{- 4}{{(4 x + 7)}^{2}}}}$

단계 5.3.25.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{4}{{(4 x + 7)}^{2}}}}$

단계 5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}}$

단계 5.5

인수끼리 묶습니다.

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단계 5.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}}$

단계 5.5.2

$\frac{1}{x (x + 1)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} \cdot \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}}$

단계 5.5.3

$\frac{1}{x (x + 1)}$ 에 $\frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x (x + 1) \cdot 4}}$

단계 5.6

$x (x + 1)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{4 x (x + 1)}}$

단계 6

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x (x + 1)}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x \cdot x + x \cdot 1}}$

단계 7.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x^{2} + x \cdot 1}}$

단계 7.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(4 x + 7)}^{2}}{x^{2} + x}}$

단계 8

분모의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}}$

단계 9

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

$e^{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{1 + \frac{1}{x}}}$

단계 9.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

단계 9.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(\frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} + \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

단계 9.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

단계 9.5

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

단계 9.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.6.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

단계 9.6.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

단계 9.7

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

단계 9.8

$7$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

단계 10

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

단계 11

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 11.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

단계 12

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 \cdot 1 + 7 \cdot 0)}^{2}}{1 + 0}}$

단계 13

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 + 7 \cdot 0)}^{2}}{1 + 0}}$

단계 13.1.2

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 + 0)}^{2}}{1 + 0}}$

단계 13.1.3

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4^{2}}{1 + 0}}$

단계 13.1.4

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{1 + 0}}$

단계 13.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{1}}$

단계 13.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (4)}{1}}$

단계 13.3.2

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 4}{1}}$

단계 13.3.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{4}$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$e^{4}$

소수 형태:

$54.59815003 \dots$