미적분 예제

$y = x^{2} (x - 1)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x - 1))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x^{2} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.4.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + (x - 1) (2 x)$

단계 3.2.6

$x - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} + 2 \cdot (x - 1) x$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 1) x$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.3.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.3.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.3.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.3.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x$

단계 3.3.3.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 2 x^{2} - 2 x$

단계 3.3.3.6

$x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 2 x$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 3 x^{2} - 2 x$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 2 x$