미적분 예제

$\int \frac{\sqrt{x} - x^{- 3}}{x^{2}} d x$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

단계 1.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\sqrt{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

단계 1.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

단계 1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 1.3

$\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3} x^{2}} d x$

단계 1.3.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3 + 2}} d x$

단계 1.3.2.2

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

단계 2.2

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3} - 1}{x^{5}} d x$

단계 2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

단계 2.2.3

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

단계 2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

단계 2.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{1 + 6}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

단계 2.2.5.2

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\int \frac{x^{\frac{7}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

단계 3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

$x^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

단계 3.2

${(x^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

단계 3.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{- 5} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{\frac{7}{2}} x^{- 5} - 1 x^{- 5} d x$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{\frac{7}{2} - 5} - 1 x^{- 5} d x$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 5$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{7}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

단계 4.4

$- 5$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int x^{\frac{7}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{\frac{7 - 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{7 - 10}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

단계 4.6.2

$7$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$\int x^{\frac{- 3}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

단계 4.7

$x^{\frac{- 3}{2}}$ 와 $- 1 x^{- 5}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - 1 x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1 x^{- 5}$ 을 $- x^{- 5}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int - x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

단계 5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - x^{- 5} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 가 됩니다.

$- (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$x^{- 4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{1}{4 x^{4}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$