미적분 예제

$f (x) = 6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{\frac{7}{2}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.2

$n = \frac{7}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.6.2

$7$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.7

$\frac{7}{2}$ 와 $x^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$6 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.8

$6$ 와 $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.9

$7$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{42 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.10

$42 x^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.11

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{21 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.2.11.4

$21 x^{\frac{5}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{\frac{5}{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 입니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.2

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.6.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.7

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.8

$4$ 와 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.9

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.10

$20 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.11

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.11.2

공약수로 약분합니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.11.3

수식을 다시 씁니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.3.11.4

$10 x^{\frac{3}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1$

단계 1.4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$21$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $21 x^{\frac{5}{2}}$ 의 미분은 $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 입니다.

$21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.2

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.6.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.7

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$21 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.8

$21$ 와 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{21 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.2.9

$5$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.7

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.8

$10$ 와 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.9

$3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{30 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.10

$30 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.11

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.11.4

$15 x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + 0$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$

단계 2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 입니다.

$15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$