미적분 예제

$\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

단계 1

$\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.2.4

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.2.5.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{3}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

단계 2.1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$\frac{75}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{75}{2} x^{2}$ 의 미분은 $\frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} (2 x)$

단계 2.1.4.3

$2$ 와 $\frac{75}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 \cdot 75}{2} x$

단계 2.1.4.4

$2$ 에 $75$ 을 곱합니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150}{2} x$

단계 2.1.4.5

$\frac{150}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150 x}{2}$

단계 2.1.4.6

$150$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.6.1

$150 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2}$

단계 2.1.4.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 (1)}$

단계 2.1.4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 \cdot 1}$

단계 2.1.4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75 x}{1}$

단계 2.1.4.6.2.4

$75 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

단계 2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{2}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [75 x]$

단계 2.2.2.3

$2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [75 x]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [75 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$75$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $75 x$ 의 미분은 $75 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} + 30 x + 75 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 30 x + 75 \cdot 1$

단계 2.2.3.3

$75$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 30 x + 75$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $3 x^{2} + 30 x + 75$ 입니다.

$3 x^{2} + 30 x + 75$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$

단계 3.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3 x^{2} + 30 x + 75$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) + 30 x + 75 = 0$

단계 3.2.1.2

$30 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) + 3 (10 x) + 75 = 0$

단계 3.2.1.3

$75$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

단계 3.2.1.4

$3 x^{2} + 3 (10 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

단계 3.2.1.5

$3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

단계 3.2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

단계 3.2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

단계 3.2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

단계 3.2.2.4

$a = x$ 이고 $b = 5$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$3 {(x + 5)}^{2} = 0$

단계 3.3

$3 {(x + 5)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3 {(x + 5)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

단계 3.3.2.1.2

${(x + 5)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x + 5)}^{2} = \frac{0}{3}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

${(x + 5)}^{2} = 0$

단계 3.4

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 3.5

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ 에 $- 5$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot {(- 5)}^{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$- 5$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot 625 + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

단계 4.1.2.1.2

$\frac{1}{4}$ 와 $625$ 을 묶습니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

단계 4.1.2.1.3

$- 5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 \cdot - 125 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

단계 4.1.2.1.4

$5$ 에 $- 125$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

단계 4.1.2.1.5

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot 25$

단계 4.1.2.1.6

$\frac{75}{2} \cdot 25$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.6.1

$\frac{75}{2}$ 와 $25$ 을 묶습니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75 \cdot 25}{2}$

단계 4.1.2.1.6.2

$75$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{1875}{2}$

단계 4.1.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$- 625$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} + \frac{1875}{2}$

단계 4.1.2.2.2

$\frac{- 625}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1875}{2}$

단계 4.1.2.2.3

$\frac{- 625}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2}$

단계 4.1.2.2.4

$\frac{1875}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 4.1.2.2.5

$\frac{1875}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

단계 4.1.2.2.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{4}$

단계 4.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- 5) = \frac{625 - 625 \cdot 4 + 1875 \cdot 2}{4}$

단계 4.1.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1

$- 625$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 1875 \cdot 2}{4}$

단계 4.1.2.4.2

$1875$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 3750}{4}$

단계 4.1.2.5

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.5.1

$625$ 에서 $2500$ 을 뺍니다.

$f (- 5) = \frac{- 1875 + 3750}{4}$

단계 4.1.2.5.2

$- 1875$ 를 $3750$ 에 더합니다.

$f (- 5) = \frac{1875}{4}$

단계 4.1.2.6

최종 답은 $\frac{1875}{4}$ 입니다.

$\frac{1875}{4}$

단계 4.2

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ 에 $- 5$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 5, \frac{1875}{4})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 5, \frac{1875}{4})$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 5)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 5.1) = 3 {(- 5.1)}^{2} + 30 (- 5.1) + 75$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 5.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 5.1) = 3 \cdot 26.01 + 30 (- 5.1) + 75$

단계 6.2.1.2

$3$ 에 $26.01$ 을 곱합니다.

$f'' (- 5.1) = 78.03 + 30 (- 5.1) + 75$

단계 6.2.1.3

$30$ 에 $- 5.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 5.1) = 78.03 - 153 + 75$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$78.03$ 에서 $153$ 을 뺍니다.

$f'' (- 5.1) = - 74.97 + 75$

단계 6.2.2.2

$- 74.97$ 를 $75$ 에 더합니다.

$f'' (- 5.1) = 0.03$

단계 6.2.3

최종 답은 $0.03$ 입니다.

$0.03$

단계 6.3

$- 5.1$ 에서의 이계도함수는 $0.03$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 5)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 5)$ 에서 증가함

단계 7

$(- 5, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4.9$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4.9) = 3 {(- 4.9)}^{2} + 30 (- 4.9) + 75$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 4.9$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4.9) = 3 \cdot 24.01 + 30 (- 4.9) + 75$

단계 7.2.1.2

$3$ 에 $24.01$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4.9) = 72.03 + 30 (- 4.9) + 75$

단계 7.2.1.3

$30$ 에 $- 4.9$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4.9) = 72.03 - 147 + 75$

단계 7.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$72.03$ 에서 $147$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4.9) = - 74.97 + 75$

단계 7.2.2.2

$- 74.97$ 를 $75$ 에 더합니다.

$f'' (- 4.9) = 0.03$

단계 7.2.3

최종 답은 $0.03$ 입니다.

$0.03$

단계 7.3

$- 4.9$ 에서의 이계도함수는 $0.03$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- 5, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- 5, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 그래프에서는 이러한 조건을 만족시키는 점이 없습니다.

변곡점 없음