미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x + 2} - 1$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\sqrt{x + 2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 2}$ 을(를) ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.12

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.13

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

단계 1.1.3.2

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

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단계 3.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

단계 3.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 2}$ 을(를) ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.2.1

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.2.1.1

$2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.3

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

단계 3.3.2.2.1.6

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + 8 = 0^{2}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 x + 8 = 0$

단계 3.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$4 x = - 8$

단계 3.3.3.2

$4 x = - 8$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.2.1

$4 x = - 8$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

단계 3.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

단계 3.3.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 8}{4}$

단계 3.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.3.1

$- 8$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = - 2$

단계 3.4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt{x + 2}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x + 2 < 0$

단계 3.5

부등식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x < - 2$

단계 3.6

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\sqrt{x + 2} - 1$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$\sqrt{(- 2) + 2} - 1$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\sqrt{0} - 1$

단계 4.1.2.1.2

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt{0^{2}} - 1$

단계 4.1.2.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$0 - 1$

단계 4.1.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(- 2, - 1)$

단계 5