미적분 예제

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{2} + x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + 6 x + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2.3

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2.4

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워질 때 상수값 $5$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.5.1

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2.5.2

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2.6

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1 + 6 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2.6.1.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 6 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2.6.2

$1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.2.6.3

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

단계 1.1.3.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

단계 1.1.3.3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.3.1

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

단계 1.1.3.3.2

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 1}$

단계 1.1.3.4

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.4.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0}{1 - 1}$

단계 1.1.3.4.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.5

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{2} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 6 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

단계 1.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

단계 1.3.4.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

단계 1.3.5

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

단계 1.3.6

$2 x + 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

단계 1.3.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{2 x + 1}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

단계 2.2

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

단계 2.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

단계 2.4

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워질 때 상수값 $6$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

단계 2.5

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

단계 2.6

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

단계 2.7

$x$ 가 $- 1$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 1$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot - 1 + 6}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

단계 3.2

$x$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot - 1 + 6}{2 \cdot - 1 + 1}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 + 6}{2 \cdot - 1 + 1}$

단계 4.1.2

$- 2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{4}{2 \cdot - 1 + 1}$

단계 4.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{- 2 + 1}$

단계 4.2.2

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{- 1}$

단계 4.3

$4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- 4$