미적분 예제

$f (x) = \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

단계 1

$x = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (x) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4}))$

단계 2

왼편을 확장합니다.

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단계 2.1

$\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ 을 $\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

단계 2.2

$\ln (e^{x} x^{3})$ 을 $\ln (e^{x}) + \ln (x^{3})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x}) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

단계 2.3

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x})$ 을 전개합니다.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

단계 2.4

$3$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{3})$ 을 전개합니다.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

단계 2.5

$4$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(x + 1)}^{4})$ 을 전개합니다.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

단계 2.6

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (f (x)) = \ln (x \cdot 1 + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

단계 2.7

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (f (x)) = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

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단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (f (x))$ 을 미분합니다.

$\frac{x'}{x} = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$ 를 미분합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))]$

단계 3.2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

단계 3.2.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

단계 3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

단계 3.2.3

미분합니다.

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단계 3.2.3.1

합의 법칙에 의해 $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)]$ 가 됩니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

단계 3.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

단계 3.2.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \ln (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

단계 3.2.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

단계 3.2.5

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.5.1

$3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

단계 3.2.5.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \ln (x + 1)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ 입니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

단계 3.2.6

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

단계 3.2.6.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

단계 3.2.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

단계 3.2.7

미분합니다.

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단계 3.2.7.1

$\frac{1}{x + 1}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 3.2.7.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 3.2.7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 3.2.7.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + 0))$

단계 3.2.7.5

하나의 분수로 통분합니다.

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단계 3.2.7.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \cdot 1)$

단계 3.2.7.5.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.7.5.2.1

$\frac{4}{x + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1})$

단계 3.2.7.5.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{x + 1})$

단계 3.2.7.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1 + 4}{x + 1})$

단계 3.2.7.5.4

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 5}{x + 1})$

단계 3.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1})$

단계 3.2.9

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x + 5}{x + 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

단계 3.2.10

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x (x + 1)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.2.10.1

$\frac{3}{x}$ 에 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

단계 3.2.10.2

$\frac{x + 5}{x + 1}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{(x + 1) x})$

단계 3.2.10.3

$(x + 1) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{x (x + 1)})$

단계 3.2.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \cdot \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$

단계 3.2.12

$\frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)}$ 에 $\frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) (x (x + 1))}$

단계 3.2.13

간단히 합니다.

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단계 3.2.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

단계 3.2.13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

단계 3.2.13.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

단계 3.2.13.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.13.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.13.4.1.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

단계 3.2.13.4.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x^{2} + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

단계 3.2.13.4.2

$3 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

단계 3.2.13.5

항을 묶습니다.

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단계 3.2.13.5.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

단계 3.2.13.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x^{1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

단계 3.2.13.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1 + 1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

단계 3.2.13.5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

단계 3.2.13.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

단계 3.2.13.7

$x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.2.13.7.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

단계 3.2.13.7.2

$3 \ln (x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + 4 \ln (x + 1) x)}$

단계 3.2.13.7.3

$4 \ln (x + 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

단계 3.2.13.7.4

$x \cdot x + x (3 \ln (x))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

단계 3.2.13.7.5

$x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)))}$

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

단계 3.2.13.8

$\frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

단계 4

$x'$ 을 분리하고 우변의 $x$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

지수를 묶습니다.

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단계 5.1.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

단계 5.1.1.2

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \ln (x + 1)$ 을 간단히 합니다.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

단계 5.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

단계 5.2

$\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ 와 $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ 을 묶습니다.

$x' = \frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

단계 5.3

$\frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x' = \frac{\ln (x^{3} e^{x} {(x + 1)}^{4}) (x^{2} + 8 x + 3)}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$