미적분 예제

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

단계 1

$\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ 을 $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

단계 2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

단계 3

먼저 $u = \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 3.2

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (4)$

단계 3.3

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (8)$

단계 3.4

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

단계 3.5

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

단계 4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

단계 5

$\ln (8)$ , $\ln (4)$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

단계 6.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\ln (8)$ 은 약 $2.07944154$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

단계 7.2

$\ln (4)$ 은 약 $1.38629436$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

단계 7.3

$\ln (8)$ 을 $\ln (2^{3})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

단계 7.4

$3$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (2^{3})$ 을 전개합니다.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

단계 7.5

$\ln (4)$ 을 $\ln (2^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

단계 7.6

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (2^{2})$ 을 전개합니다.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

단계 7.7

$\ln (2)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

단계 7.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

소수 형태:

$0.20273255 \dots$