미적분 예제

$\frac{1 + x + y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}$ 을(를) ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1 + x + y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (y) = 1 + x + y$ , $g (y) = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3

${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

단계 4

간단히 합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x + y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $1 + x + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 5.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 5.4

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 5.5

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y]$ 에 더합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 5.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 5.7

${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{d}{d y} [{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 6

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ , $g (y) = 1 + x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 + x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 6.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 + x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 12

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 13

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 14

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 15

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 16

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}])}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 17

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y))}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 18

항을 간단히 합니다.

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단계 18.1

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) (\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y)}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 18.2

$\frac{2}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 18.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{2 y}{2 {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 18.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 + x + y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19

간단히 합니다.

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단계 19.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 - x - y) \frac{y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 19.2.1

$u_{2} = {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 를 $u_{2}$ 로 바꿉니다.

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단계 19.2.1.1

$u_{2}$ 에 $u_{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- 1 - x - y) y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - 1 y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.1.3

간단히 합니다.

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단계 19.2.1.3.1

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y \cdot y}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.1.3.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 19.2.1.3.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - (y \cdot y)}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.1.3.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - y - x y - y^{2}}{u_{2}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.2

$u_{2}$ 를 모두 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\frac{{({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.3

간단히 합니다.

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단계 19.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 19.2.3.1.1

${({(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 19.2.3.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.3.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 19.2.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{1} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.3.1.2

간단히 합니다.

$\frac{\frac{1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.3.2

$1 + x^{2} + y^{2} - y - x y - y^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 19.2.3.2.1

$y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y + 0}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.2.3.2.2

$1 + x^{2} - y - x y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.3

항을 묶습니다.

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단계 19.3.1

$\frac{\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2} + y^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$

단계 19.3.2

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2} + y^{2})}$

단계 19.3.3

지수를 더하여 ${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1 + x^{2} + y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 19.3.3.1

${(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1 + x^{2} + y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 19.3.3.1.1

$1 + x^{2} + y^{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{1}}$

단계 19.3.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 19.3.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 19.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 19.3.3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1 + x^{2} - y - x y}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 19.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} - x y - y + 1}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$