미적분 예제

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ , $(0, - 3)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = - 3$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

단계 1.1.2

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

단계 1.1.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ 을 ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

단계 1.1.3.2

${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

단계 1.1.3.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = 3 x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

단계 1.2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $3 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 1.3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

단계 1.3.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.7.1

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

단계 1.3.7.2

$6$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

단계 1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$54$ 와 $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

단계 1.4.2.2

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.5

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$54$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1.6.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

단계 1.6.2.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

단계 1.6.2.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{0}{1^{4}}$

단계 1.6.2.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{0}{1}$

단계 1.6.3

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $0$ 과 주어진 점 $(0, - 3)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$0 \cdot (x + 0)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y + 3 = 0 \cdot x$

단계 2.3.1.2

$0$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y + 3 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$y = - 3$

단계 3