미적분 예제

${(3 - 5 x)}^{5}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = 3 - 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 - 5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

단계 1.1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $3 - 5 x$ 로 바꿉니다.

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 - 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 가 됩니다.

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

단계 1.2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

단계 1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 에 더합니다.

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 1.2.4

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.5

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \cdot 1$

단계 1.2.7

$- 25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 25 {(3 - 5 x)}^{4}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 25$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 25 {(3 - 5 x)}^{4}$ 의 미분은 $- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$ 입니다.

$- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 3 - 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 - 5 x$ 로 바꿉니다.

$- 25 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 25 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $3 - 5 x$ 로 바꿉니다.

$- 25 (4 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$4$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$- 100 ({(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $3 - 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 가 됩니다.

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

단계 2.3.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

단계 2.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 에 더합니다.

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 2.3.5

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.6

$- 5$ 에 $- 100$ 을 곱합니다.

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \cdot 1$

단계 2.3.8

$500$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 500 {(3 - 5 x)}^{3}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$500$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $500 {(3 - 5 x)}^{3}$ 의 미분은 $500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$ 입니다.

$500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 3 - 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 - 5 x$ 로 바꿉니다.

$500 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$500 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $3 - 5 x$ 로 바꿉니다.

$500 (3 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3$ 에 $500$ 을 곱합니다.

$1500 ({(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $3 - 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 가 됩니다.

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

단계 3.3.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

단계 3.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 에 더합니다.

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 3.3.5

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3.6

$- 5$ 에 $1500$ 을 곱합니다.

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \cdot 1$

단계 3.3.8

$- 7500$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 7500 {(3 - 5 x)}^{2}$