미적분 예제

$\ln (\sec (2 x) + 6 \tan (x))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sec (2 x) + 6 \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

단계 3

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

단계 3.2

$\sec (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

단계 4.3.2

$\sec (2 x) \tan (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

단계 4.4

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 \tan (x)$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 5

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

단계 6.3

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

단계 6.3.2

$\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 와 $\sec (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

단계 6.3.3

$\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 와 $\tan (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

단계 6.4

$6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.1

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec^{2} (x)$

단계 6.4.2

$\frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ 와 $\sec^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

단계 6.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

단계 6.6

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.6.1

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

단계 6.6.2

$6 \sec^{2} (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

단계 6.6.3

$2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x) + 3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$