미적분 예제

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

단계 1

주어진 해가 미분 방정식을 충족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y'$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

단계 1.1.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 1.1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 4 + c$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.1.3.4

$c$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $c$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $c$ 입니다.

$3 x^{2} + 0 + 0$

단계 1.1.3.5

항을 묶습니다.

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단계 1.1.3.5.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 1.1.3.5.2

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 3 x^{2}$

단계 1.2

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

단계 1.3

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족합니다.

$y = x^{3} - 4 + c$ 이 $y' = 3 x^{2}$ 의 해입니다.

단계 2

초기 조건에 대입합니다.

$5 = 0^{3} - 4 + c$

단계 3

$c$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$0^{3} - 4 + c = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$0^{3} - 4 + c = 5$

단계 3.2

$0^{3} - 4 + c$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 4 + c = 5$

단계 3.2.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 4 + c = 5$

단계 3.3

$c$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$c = 5 + 4$

단계 3.3.2

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$c = 9$