미적분 예제

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5} d x$

단계 1

먼저 $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (9 x^{2} + 12 x + 3) d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = (3 x^{2} + 4 x + 1) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.4.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$9 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.4.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.5

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.5.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 x^{2} + 12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.5.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} + 12 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.6.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$9 x^{2} + 12 x + 3 + 0$

단계 1.1.6.2

$9 x^{2} + 12 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 x^{2} + 12 x + 3$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

단계 2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int \frac{1}{3 u} d u$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

단계 5

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5 |) + C$