미적분 예제

$f (x) = 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\int 7 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 3.1.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\int 7 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

단계 3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int 7 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $7$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{7 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

단계 3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{7 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{7 \cdot 1 + 7 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

단계 3.4.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{7 + 7 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

단계 3.4.3

$7$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int \frac{7 x^{2} + 4}{1 + x^{2}} d x$

단계 4

$1$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{7 x^{2} + 4}{x^{2} + 1} d x$

단계 5

$7 x^{2} + 4$ 을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

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단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

단계 5.2

피제수 $7 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$7$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					+	$7 x^{2}$	+	$0$	+	$7$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $7 x^{2} + 0 + 7$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					-	$7 x^{2}$	-	$0$	-	$7$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$7$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
					-	$7 x^{2}$	-	$0$	-	$7$
									-	$3$

단계 5.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 7 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 7 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$7 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

단계 8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

단계 9

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 10.2

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 10.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$7 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 11

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C$ 입니다.

$7 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

단계 12

간단히 합니다.

$7 x - 3 \arctan (x) + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = 7 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $7 x - 3 \arctan (x) + C$