미적분 예제

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

단계 2

$4 x^{2}$ 와 $9$ 을 다시 정렬합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

단계 3

$9 + 4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$9$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

단계 3.2

$4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

단계 3.3

$4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

단계 5

$\frac{9}{4}$ 을 ${(\frac{3}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

단계 6

$\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ 입니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{3}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

단계 7.1.2

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

단계 7.1.3

$\frac{3}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

단계 7.1.4

$x$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

단계 7.1.5

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

단계 7.1.6

$\frac{2}{3}$ 와 $\arctan (\frac{2 x}{3})$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

단계 7.1.7

$\frac{1}{4}$ 와 $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

단계 7.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$t$ , $0$ 일 때, $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

단계 7.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

단계 7.2.2.2

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

단계 7.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

단계 7.2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

단계 7.2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

단계 7.2.2.2.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

단계 7.2.2.3

$\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

단계 7.2.2.4

조합합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.7

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.8

$- 3$ 와 $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.9

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.10

$- 6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.10.1

$- 6 \arctan (0)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.10.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.10.2.4

$- 2 \arctan (0)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

단계 7.2.2.11

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

단계 7.2.2.12

$2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.12.1

$2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

단계 7.2.2.12.2

$- 2 \arctan (0)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

단계 7.2.2.12.3

$2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

단계 7.2.2.12.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.12.4.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

단계 7.2.2.12.4.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

단계 7.2.2.12.4.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

단계 8

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{6}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

단계 8.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

단계 8.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

단계 8.4

$\frac{2 t}{3}$ 에 $t$ 을 대입하고 $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ 일 때 $t$ 가 $\infty$ 에 근접하게 합니다.

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

단계 8.5

$t$ 가 $\infty$ 으로 한없이 가까워질 때 극한은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

단계 8.6

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $\arctan (0)$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

단계 8.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.7.1.1

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

단계 8.7.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

단계 8.7.2

$\frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

단계 8.7.3

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.7.3.1

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

단계 8.7.3.2

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{12}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{12}$

소수 형태:

$0.26179938 \dots$