미적분 예제

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

단계 1

$u = \ln (1 - x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

단계 2

$x$ 와 $\frac{1}{1 - x}$ 을 묶습니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

단계 4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

단계 4.1.2

$\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

단계 4.2

$1$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

단계 5

$x$ 을 $- x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x$

$0$

단계 5.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $- x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

단계 5.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 8

먼저 $u = - x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = - x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 8.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 8.2

$u = - x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0 + 1$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 8.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 8.4

$u = - x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

단계 8.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 1 + 1$

단계 8.5.2

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 0$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

단계 8.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

단계 9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

단계 10

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

단계 11

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

단계 12

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ 와 $- x]_{0}^{1}$ 을 묶습니다.

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$1$ , $0$ 일 때, $\ln (1 - x) x - x$ 값을 계산합니다.

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

단계 13.2

$0$ , $1$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 13.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 13.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 13.3.3

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 13.4

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 14

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음