미적분 예제

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

단계 1

$6 x - x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

단계 1.2

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

단계 1.3

$x \cdot 6 + x (- x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

단계 2

제곱식을 완성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot 6 + x (- x)$

단계 2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$6 \cdot x + x (- x)$

단계 2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$6 \cdot x - x \cdot x$

단계 2.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$6 x - (x \cdot x)$

단계 2.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$6 x - x^{2}$

단계 2.1.5

$6 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} + 6 x$

단계 2.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

단계 2.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

단계 2.4.2.1.2

$\frac{3}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 3$

단계 2.4.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$d = - 3$

단계 2.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 2.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

단계 2.5.2.1.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

단계 2.5.2.1.3

$36$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$e = 0 - - 9$

단계 2.5.2.1.4

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 9$

단계 2.5.2.2

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$e = 9$

단계 2.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- {(x - 3)}^{2} + 9$ 에 대입합니다.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

단계 3

먼저 $u = x - 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = x - 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x - 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 3.1.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2

$u = x - 3$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 - 3$

단계 3.3

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 0$

단계 3.4

$u = x - 3$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 6 - 3$

단계 3.5

$6$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 3$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

단계 4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

단계 4.2

$- u^{2}$ 와 $3^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

단계 5

$\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\arcsin (\frac{u}{3})$ 입니다

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$3$ , $0$ 일 때, $\arcsin (\frac{u}{3})$ 값을 계산합니다.

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

단계 6.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

단계 6.2.2

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

단계 6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 6.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 6.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

단계 6.2.2.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\arcsin (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

단계 7.1.2

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{π}{2} - 0$

단계 7.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2} + 0$

단계 7.2

$\frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{π}{2}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{2}$

소수 형태:

$1.57079632 \dots$

단계 9