미적분 예제

$\sqrt{\frac{x}{y}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{x}{y}}$ 을(를) ${(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{x}{y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{y}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{y}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 8

$\frac{1}{y}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{y}$ 의 미분은 $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{y}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y \cdot 2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 9.2

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 \cdot y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 11

$\frac{1}{2 y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{1}{2 y} {(\frac{y}{x})}^{\frac{1}{2}}$

단계 12.2

$\frac{y}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3

항을 묶습니다.

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단계 12.3.1

$\frac{1}{2 y}$ 에 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 y x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $y^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 y x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{1}{2}}}$

단계 12.3.3

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.3.1

$y^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3.3.2

$y^{- \frac{1}{2}}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.3.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.3.3.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$