미적분 예제

$f (x) = \ln (x^{2} - 1)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

단계 1.2.4

분수를 통분합니다.

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단계 1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x)$

단계 1.2.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{2} - 1} x$

단계 1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} - 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{x^{2} - 1}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{x^{2} - 1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.3.2

$x^{2} - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

단계 2.9

$2$ 와 $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.10

간단히 합니다.

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단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.10.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.10.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.10.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{2 x}{x^{2} - 1} = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6