미적분 예제

$\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$4$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$

단계 1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}$ 을 ${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \frac{d}{d y} [{({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}]$

단계 1.2.2

${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

단계 1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{- 2}]$

단계 2

$f (y) = y^{- 2}$ , $g (y) = 2 y + 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 y + 1$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

단계 2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2 y + 1$ 로 바꿉니다.

$4 (- 2 {(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 8 ({(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $2 y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 3.3

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])$

단계 3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d y} [1])$

단계 3.6

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

단계 3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} \cdot 2$

단계 3.7.2

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$- 16 {(2 y + 1)}^{- 3}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 16 \frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 16$ 와 $\frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 16}{{(2 y + 1)}^{3}}$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{16}{{(2 y + 1)}^{3}}$