미적분 예제

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$

단계 1

$20$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$ 입니다.

$20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$

단계 2

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = 1 + e^{10 - t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 + e^{10 - t}$ 로 바꿉니다.

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 + e^{10 - t}$ 로 바꿉니다.

$20 (- {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$- 20 ({(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $1 + e^{10 - t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ 가 됩니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

단계 3.3

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ 에 더합니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$

단계 4

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = 10 - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $10 - t$ 로 바꿉니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [10 - t])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [10 - t])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $10 - t$ 로 바꿉니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [10 - t])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $10 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]))$

단계 5.2

$10$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

단계 5.3

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [- t]$ 에 더합니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [- t])$

단계 5.4

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

단계 5.5

$- 1$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [t]))$

단계 5.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \cdot 1)$

단계 5.7

$e^{10 - t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} e^{10 - t}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$20 \frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

단계 6.2

항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$20$ 와 $\frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

단계 6.2.2

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ 와 $e^{10 - t}$ 을 묶습니다.

$\frac{20 e^{10 - t}}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$