미적분 예제

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

단계 1

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

단계 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 2.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 2.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 2.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 3

먼저 $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 이므로 $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 3.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 3.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 3.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 3.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

단계 3.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

단계 3.1.8

간단히 합니다.

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단계 3.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

단계 5

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

$\sin^{2} (u_{1})$ 로 인수분해합니다.

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 7

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $1 - \cos^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 8

먼저 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.1

$u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 8.1.1

$\cos (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

단계 8.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1})$

단계 8.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 11

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{3}$ 와 ${u_{2}}^{3}$ 을 묶습니다.

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

단계 12.2

간단히 합니다.

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

단계 13

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 13.1

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

단계 13.2

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{1}{3}$ 와 $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ 을 묶습니다.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

단계 14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

단계 14.3

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

단계 14.4

$16$ 와 $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ 을 묶습니다.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$