미적분 예제

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

단계 1

먼저 $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ 이므로 $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d r}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

단계 1.1.2

${(2 r - 1)}^{2}$ 을 $(2 r - 1) (2 r - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

단계 1.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 r - 1) (2 r - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

단계 1.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

단계 1.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

단계 1.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

단계 1.1.4.1.2

지수를 더하여 $r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.2.1

$r$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

단계 1.1.4.1.2.2

$r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

단계 1.1.4.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

단계 1.1.4.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

단계 1.1.4.1.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

단계 1.1.4.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

단계 1.1.4.2

$- 2 r$ 에서 $2 r$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

단계 1.1.5

합의 법칙에 의해 $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$3$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6.2

합의 법칙에 의해 $4 r^{2} - 4 r + 1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ 가 됩니다.

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6.3

$4$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $4 r^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 입니다.

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6.5

$- 4$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $- 4 r$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6.7

$1$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6.8

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6.9

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.6.10

$8 r - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

단계 1.1.7

$6$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$3 (8 r - 4) + 0$

단계 1.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

단계 1.1.8.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.8.2.1

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

단계 1.1.8.2.2

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$24 r - 12 + 0$

단계 1.1.8.2.3

$24 r - 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$24 r - 12$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ 에 $\frac{1}{12}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

단계 2.2

$\sqrt{u_{1}}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{12}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{12}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

단계 4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

단계 4.3

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

단계 4.4

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

단계 4.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

단계 4.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

단계 5

먼저 $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ 이므로 $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

단계 5.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 5.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 5.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 5.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 5.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 5.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

단계 5.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

단계 5.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 6

$2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2$ 와 $\frac{1}{12}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 7.2

$2$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 8

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

단계 10

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{2}$ 를 모두 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 10.2

$u_{1}$ 를 모두 $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$