미적분 예제

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

단계 2

$x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x'$ 입니다.

$x'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{y^{4}}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

단계 3.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

단계 3.2.4

$\frac{4}{4}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

단계 3.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

단계 3.2.5.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{1}{8}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{1}{8 y^{2}}$ 의 미분은 $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ 입니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

단계 3.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ 을 ${(y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

단계 3.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 3.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 3.3.3.3

$u$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 3.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

단계 3.3.5

${(y^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

단계 3.3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

단계 3.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

단계 3.3.7

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

단계 3.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

단계 3.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

단계 3.3.10

$- 2$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

단계 3.3.11

$\frac{- 2}{8}$ 와 $y^{- 3}$ 을 묶습니다.

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

단계 3.3.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

단계 3.3.13

$- 2$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.13.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

단계 3.3.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.13.2.1

$8 y^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

단계 3.3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

단계 3.3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

단계 3.3.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

단계 5

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$