미적분 예제

$2^{x^{2} + 3}$

단계 1

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

단계 1.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

단계 2.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x + 0)$

단계 2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2^{x^{2} + 3} \ln (2) (2 x)$

단계 3

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$2^{1} \cdot 2^{x^{2} + 3} \ln (2) x$

단계 4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{1 + x^{2} + 3} \ln (2) x$

단계 5

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2^{x^{2} + 4} \ln (2) x$

단계 6

$2^{x^{2} + 4} \ln (2) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2^{x^{2} + 4} x \ln (2)$