미적분 예제

$- 1 = - x y + 2 y^{2}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (- 1) = \frac{d}{d x} (- x y + 2 y^{2})$

단계 2

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$0$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- x y + 2 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 3.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 3.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$- (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 3.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$- (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$- (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x y' + y) + 2 (2 y y')$

단계 3.3.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- (x y' + y) + 4 y y'$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x y') - y + 4 y y'$

단계 3.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$- x y' + 4 y y' - y$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$0 = - x y' + 4 y y' - y$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$- x y' + 4 y y' - y = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- x y' + 4 y y' - y = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$- x y' + 4 y y' = y$

단계 5.3

$- x y' + 4 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$- x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- x) + 4 y y' = y$

단계 5.3.2

$4 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- x) + y' (4 y) = y$

단계 5.3.3

$y' (- x) + y' (4 y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- x + 4 y) = y$

단계 5.4

$y' (- x + 4 y) = y$ 의 각 항을 $- x + 4 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$y' (- x + 4 y) = y$ 의 각 항을 $- x + 4 y$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{y}{- x + 4 y}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$- x + 4 y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- x + 4 y)}{- x + 4 y} = \frac{y}{- x + 4 y}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y}{- x + 4 y}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y}{- (x) + 4 y}$

단계 5.4.3.2

$4 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y}{- (x) - (- 4 y)}$

단계 5.4.3.3

$- (x) - (- 4 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y}{- (x - 4 y)}$

단계 5.4.3.4

음수 부분을 다시 씁니다.

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단계 5.4.3.4.1

$- (x - 4 y)$ 을 $- 1 (x - 4 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{y}{- 1 (x - 4 y)}$

단계 5.4.3.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y}{x - 4 y}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x - 4 y}$