미적분 예제

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

단계 1

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 는 양수입니다.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.1.1.2

$\frac{\tan (t)}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.1.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.1.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.1.2

항을 다시 배열합니다.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.1.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\sec (t)$ 와 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.2.2

지수를 더하여 $\sec (t)$ 에 $\sec^{2} (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\sec (t)$ 에 $\sec^{2} (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 5.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

단계 5.2.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

단계 7

$\sec^{3} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 8

$u = \sec (t)$ 이고 $d v = \sec^{2} (t)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

단계 9

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

단계 10

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

단계 11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

단계 12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

단계 12.2

$\tan^{2} (t)$ 와 $\sec (t)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

단계 13

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

단계 14

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 14.3

$\sec (t)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 15

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

단계 16

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

단계 17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

단계 18

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

단계 19

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

단계 20

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

단계 21

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

단계 22

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 23

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 24

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 25

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 25.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 26

$\int \sec^{3} (t) d t$ 을 풀면 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

단계 27

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

단계 28

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 29

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 29.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 30

$t$ 를 모두 $\arctan (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

단계 31

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.1.1

평면에 $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (2 x)$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, 2 x)$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sec (\arctan (2 x))$ 는 $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

단계 31.1.2

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

단계 31.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

단계 31.1.4

탄젠트와 아크탄젠트 함수는 역함수 관계입니다.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

단계 31.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

단계 31.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

단계 31.1.6.2

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

단계 31.1.6.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

단계 31.1.6.4

탄젠트와 아크탄젠트 함수는 역함수 관계입니다.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

단계 31.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

단계 31.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

단계 31.3.2

$2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

단계 31.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

단계 31.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

단계 31.4

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

단계 31.5

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

단계 31.6

$\frac{1}{4}$ 와 $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

단계 31.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

단계 31.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.8.1

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

단계 31.8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

단계 31.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

단계 31.10

$\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

단계 32

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

단계 33

답은 함수 $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$