미적분 예제

$\ln (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 을(를) ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d y} [\ln ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (y) = \ln (y)$ , $g (y) = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ , $g (y) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

단계 11

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 12

지수를 더하여 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 12.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 12.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{1}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 13

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 14

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 15

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 16

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 17

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (2 y)$

단계 18

항을 간단히 합니다.

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단계 18.1

$2$ 와 $\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 (x^{2} + y^{2})} y$

단계 18.2

$\frac{2}{2 (x^{2} + y^{2})}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y}{2 (x^{2} + y^{2})}$

단계 18.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2 (x^{2} + y^{2})}$

단계 18.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$