미적분 예제

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 3}$

단계 1

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 3}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 3} d x$

단계 4

먼저 $u = e^{x} + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = e^{x} d x$ 이므로 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = e^{x} + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$e^{x} + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 3]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 4.1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$e^{x} + 0$

단계 4.1.4.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x}$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u$

단계 5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $e^{x} + 3$ 로 바꿉니다.

$\ln (| e^{x} + 3 |) + C$

단계 7

답은 함수 $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 3}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + 3 |) + C$