미적분 예제

$y = {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = {(2 x^{3} + 2)}^{4}$ , $g (x) = \cos^{3} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x^{3} + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

단계 3.3

${(2 x^{3} + 2)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

단계 3.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

단계 3.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

단계 3.6

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 2 x^{3} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x^{3} + 2$ 로 바꿉니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

단계 3.6.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

단계 3.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x^{3} + 2$ 로 바꿉니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

단계 3.7

미분합니다.

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단계 3.7.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

단계 3.7.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

단계 3.7.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2]))$

단계 3.7.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]))$

단계 3.7.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + 0))$

단계 3.7.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.6.1

$6 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2}))$

단계 3.7.6.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (24 {(2 x^{3} + 2)}^{3} x^{2})$

단계 3.7.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$