미적분 예제

$g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$

단계 1

함수 $G (x)$ 는 도함수 $g (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$G (x) = \int g (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$G (x) = \int \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}} d x$

단계 3

$x^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x^{2} + 3 x - 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

단계 4

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

단계 4.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4} d x$

단계 5

$(x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4}$ 을 전개합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} x^{- 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{2 - 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

단계 5.4

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int x^{- 2} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

단계 5.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{- 2} + 3 (x^{1} x^{- 4}) - 5 x^{- 4} d x$

단계 5.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{- 2} + 3 x^{1 - 4} - 5 x^{- 4} d x$

단계 5.7

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int x^{- 2} + 3 x^{- 3} - 5 x^{- 4} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- x^{- 1} + C + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

단계 8

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- x^{- 1} + C + 3 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

단계 10.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

단계 11

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{- 4} d x$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $x^{- 4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 가 됩니다.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

간단히 합니다.

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단계 13.1.1

$x^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

단계 13.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

단계 13.3

간단히 합니다.

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단계 13.3.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

단계 13.3.2

$5$ 와 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

단계 14

답은 함수 $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$ 의 역도함수입니다.

$G (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$