미적분 예제

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$

단계 2

$f (x) = x^{2} - 9$ , $g (x) = x^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$2 \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.3

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.4.2

$x^{2} - 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.7

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.8

분수를 통분합니다.

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단계 3.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 3.8.3

$2$ 와 $\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.6.1.1

인수가 항 $2 (2 x^{2} x)$ 과(와) $2 (- 2 x^{2} x)$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (2 \cdot - 4 x) - 2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.6.1.2

$2 \cdot 2 x^{2} x$ 에서 $2 \cdot 2 x^{2} x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 0 + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.6.1.3

$2 (2 \cdot - 4 x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.6.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.6.2.1

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (- 8 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.6.2.2

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 16 x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.6.2.3

$- 2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{- 16 x + 2 (18 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.6.2.4

$18$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 16 x + 36 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.6.3

$- 16 x$ 를 $36 x$ 에 더합니다.

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 4.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

단계 4.7.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$\frac{20 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

단계 4.7.3

$(x + 2) (x - 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{20 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$