미적분 예제

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 4

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$x^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 5.2

${(x^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 5.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \int x^{- 5} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{- 5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 가 됩니다.

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$x^{- 4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 7.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int {(1 - 2 x)}^{3} d x$

단계 9

먼저 $u = 1 - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 9.1

$u = 1 - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 9.1.1

$1 - 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

단계 9.1.2

미분합니다.

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단계 9.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 9.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 9.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 9.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 9.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 \cdot 1$

단계 9.1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2$

단계 9.1.4

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 10.2

$u^{3}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int - \frac{u^{3}}{2} d u$

단계 11

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - - \int \frac{u^{3}}{2} d u$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 1 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

단계 12.2

$\int \frac{u^{3}}{2} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{u^{3}}{2} d u$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{3} d u$

단계 14

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

간단히 합니다.

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

단계 15.2

간단히 합니다.

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단계 15.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

단계 15.2.2

$\frac{1}{4}$ 와 $u^{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} + C$

단계 15.2.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{u^{4}}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{2 \cdot 4} + C$

단계 15.2.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{8} + C$

단계 16

$u$ 를 모두 $1 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{{(1 - 2 x)}^{4}}{8} + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$

단계 18

답은 함수 $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$