미적분 예제

$y = {(1 - x)}^{2} \sinh (2 x)$

단계 1

${(1 - x)}^{2}$ 을 $(1 - x) (1 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x) \sinh (2 x)]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - x) (1 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 (1 - x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

단계 3.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

단계 3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - x (- x)) \sinh (2 x)]$

단계 3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) \sinh (2 x)]$

단계 3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) \sinh (2 x)]$

단계 3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

단계 3.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

단계 3.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

단계 3.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [(1 - 2 x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

단계 4

$f (x) = 1 - 2 x + x^{2}$ , $g (x) = \sinh (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

단계 5

$f (x) = \sinh (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

단계 5.2

$\sinh (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cosh (u)$ 입니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

단계 5.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

단계 6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \cdot 1) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

단계 6.3

식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) \cdot 2 + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

단계 6.3.2

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot ((1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

단계 6.4

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.6

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.7

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.9

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) + 2 x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

단계 7.4

항을 묶습니다.

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단계 7.4.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

단계 7.4.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

단계 7.4.3

$\sinh (2 x)$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x) + \sinh (2 x) (2 x)$

단계 7.5

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + 2 x \sinh (2 x) + 2 \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x)$