미적분 예제

$\int x \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

단계 1

먼저 $u = 3 - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 3 - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$3 - 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 1.1.2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.2

$\sqrt[3]{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 5.2

$- \frac{u}{2}$ 와 $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 5.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \int - \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 5.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 5.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 5.7

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 5.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

단계 5.9

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ 을 곱합니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} d u$

단계 5.10

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u$

단계 5.11

$- \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4}$ 와 $\frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- (\int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

단계 7

$\frac{3}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

단계 9

$\frac{3}{4}$ 와 $u^{\frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

단계 10

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

단계 11

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u))$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{4}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 가 됩니다.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C))$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{3}{7}$ 와 $u^{\frac{7}{3}}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

단계 13.2

간단히 합니다.

$- (\frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$- (\frac{9}{16} u^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} u^{\frac{7}{3}}) + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $3 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{9}{16} {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1

$\frac{9}{16}$ 와 ${(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

단계 16.1.2

${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ 와 $\frac{3}{28}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{28}) + C$

단계 16.1.3

${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

단계 16.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

단계 16.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

단계 16.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $112$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.4.1

$\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ 에 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

단계 16.4.2

$16$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

단계 16.4.3

$\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{28 \cdot 4}) + C$

단계 16.4.4

$28$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112}) + C$

단계 16.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

단계 16.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.6.1

$7$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

단계 16.6.2

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{112} (63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$